Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Вычтем $3$ из $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Step 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Step 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Зададим знаменатель в $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Перепишем это выражение.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $27 x^{2} = 0$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $27 x^{2} = 0$ на $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0$ на $27$ .

$x^{2} = 0$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Step 4

Вычислим $x^{\frac{1}{3}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{\frac{1}{3}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Перепишем это выражение.

$0^{1}$

Найдем экспоненту.

$0$

Перечислим все точки.

$(0, 0)$

Step 5