Математический анализ Примеры

$\sqrt{x}$

Step 1

Запишем $\sqrt{x}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt{x}$

Step 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Step 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Объединим $x^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Step 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Step 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Step 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Step 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Зададим знаменатель в $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt{x} = 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Перепишем это выражение.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Упростим.

$4 x = 0^{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 x = 0$

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x < 0$

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Step 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Step 9

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$- \frac{1}{4 {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{3}}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0}$

Умножим $4$ на $0$ .

$- \frac{1}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{1}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Step 11

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Step 12