Математический анализ Примеры

$e^{7 x}$

Step 1

Запишем $e^{7 x}$ в виде функции.

$f (x) = e^{7 x}$

Step 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (7 x)$

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (7 x)$

Заменим все вхождения $u$ на $7 x$ .

$f' (x) = e^{7 x} \frac{d}{d x} (7 x)$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} (x))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = e^{7 x} (7 \cdot 1)$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $7$ на $1$ .

$f' (x) = e^{7 x} \cdot 7$

Перенесем $7$ влево от $e^{7 x}$ .

$f' (x) = 7 e^{7 x}$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $7 e^{7 x}$ .

$7 e^{7 x}$

Step 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $7 e^{7 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$7 e^{7 x} = 0$

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (7 e^{7 x}) = \ln (0)$

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Нет решения для $7 e^{7 x} = 0$

Нет решения

Step 4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Step 5

Нет точек, в которых производная $f' (x) = 7 e^{7 x}$ была бы равна $0$ или не определена. $f (x) = e^{7 x}$ проверяется на возрастание или убывание на интервале $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Step 6

Подставим любое число, например $1$ , из интервала $(- \infty, \infty)$ в производную $f' (x) = 7 e^{7 x}$ , чтобы проверить, является результат отрицательным или положительным. Если результат отрицательный, график убывает на интервале $(- \infty, \infty)$ . Если результат положительный, график возрастает на интервале $(- \infty, \infty)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 7 e^{7 (1)}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $7$ на $1$ .

$f' (1) = 7 e^{7}$

Окончательный ответ: $7 e^{7}$ .

$7 e^{7}$

Step 7

Результат подстановки $1$ в $f' (x) = 7 e^{7 x}$ равен $7 e^{7}$ и является положительным, поэтому график возрастает на интервале $(- \infty, \infty)$ .

Возрастание в области $(- \infty, \infty)$ , так как $7 e^{7 x} > 0$

Step 8

Возрастание на интервале $(- \infty, \infty)$ означает, что функция постоянно возрастает.

Всегда возрастающие

Step 9