Математический анализ Примеры

$3 x^{2} - 6 x$

Step 1

Запишем $3 x^{2} - 6 x$ в виде функции.

$f (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Step 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} x$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x - 6 \cdot 1$

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f' (x) = 6 x - 6$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x - 6$ .

$6 x - 6$

Step 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x - 6 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x - 6 = 0$

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$6 x = 6$

Разделим каждый член $6 x = 6$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $6 x = 6$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{6}{6}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $6$ на $6$ .

$x = 1$

Step 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $1$ .

$1$

Step 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = 6 x - 6$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 3 x^{2} - 6 x$ в интервале $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Step 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 6 (0) - 6$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $6$ на $0$ .

$f' (0) = 0 - 6$

Вычтем $6$ из $0$ .

$f' (0) = - 6$

Окончательный ответ: $- 6$ .

$- 6$

При $x = 0$ производная имеет вид $- 6$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 1)$ .

Убывание на $(- \infty, 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Step 7

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 6 (2) - 6$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $6$ на $2$ .

$f' (2) = 12 - 6$

Вычтем $6$ из $12$ .

$f' (2) = 6$

Окончательный ответ: $6$ .

$6$

При $x = 2$ производная имеет вид $6$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(1, \infty)$ .

Возрастание в области $(1, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Step 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(1, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, 1)$

Step 9