Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x^{2}}$

Step 1

Запишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Step 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2 \cdot - 1})$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 2})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$f' (x) = - 2 x^{- 3}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{x^{3}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{2}{x^{3}}$

Step 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{2}{x^{3}} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Step 4

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Step 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Зададим знаменатель в $\frac{2}{x^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} = 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем кубический корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Step 6

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ в интервале $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 7

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{- 1}$

Разделим $2$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 2$

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

При $x = - 1$ производная имеет вид $2$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Step 8

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - \frac{2}{1}$

Разделим $2$ на $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (1) = - 2$

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

При $x = 1$ производная имеет вид $- 2$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Убывание на $(0, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Step 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 0)$

Убывание на: $(0, \infty)$

Step 10