Математический анализ Примеры

$16 x^{2} + 25 y^{2} = 400$

Step 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член на $400$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{16 x^{2}}{400} + \frac{25 y^{2}}{400} = \frac{400}{400}$

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

Step 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Step 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 5$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Step 4

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(4)}^{2}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 - {(4)}^{2}}$

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 16}$

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\sqrt{25 - 16}$

Вычтем $16$ из $25$ .

$\sqrt{9}$

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$3$

Step 5

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 + 3, 0)$

Упростим.

$(3, 0)$

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 - (3), 0)$

Упростим.

$(- 3, 0)$

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(3, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3, 0)$

Step 6