Математический анализ Примеры

$x^{2} + \frac{2}{x}$

Step 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{2} + \frac{2}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 x + 2 (- x^{- 2})$

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 x - 2 x^{- 2}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 2}{x^{2}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x - \frac{2}{x^{2}}$

Step 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $2 x - \frac{2}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{2}})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{2}})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{2}})$

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{2}})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 2 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 2 - 2 (- x^{- 4} (2 x))$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 - 2 (- 2 x^{- 4} x)$

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 - 2 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 - 2 (- 2 x^{1 - 4})$

Вычтем $4$ из $1$ .

$f'' (x) = 2 - 2 (- 2 x^{- 3})$

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 2 + 4 x^{- 3}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 4 (\frac{1}{x^{3}})$

Объединим $4$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{4}{x^{3}}$

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{4}{x^{3}} + 2$

Step 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 x - \frac{2}{x^{2}} = 0$

Step 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{2} + \frac{2}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 2 x + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 2 x + 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 x + 2 (- x^{- 2})$

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = 2 x - 2 x^{- 2}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 2}{x^{2}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 2 x - \frac{2}{x^{2}}$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x - \frac{2}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{2}{x^{2}}$

Step 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x - \frac{2}{x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{2}} = 0$

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x^{2}, 1$

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Каждый член в $2 x - \frac{2}{x^{2}} = 0$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим каждый член $2 x - \frac{2}{x^{2}} = 0$ на $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{2 + 1} - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Добавим $2$ и $1$ .

$2 x^{3} - \frac{2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{x^{2}}$ в числитель.

$2 x^{3} + \frac{- 2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Сократим общий множитель.

$2 x^{3} + \frac{- 2}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Перепишем это выражение.

$2 x^{3} - 2 = 0 x^{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 2 = 0$

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{3} = 2$

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{3} - 2 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 2 = 0$

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (x^{3}) + 2 (- 1) = 0$

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3}) + 2 (- 1)$ .

$2 (x^{3} - 1) = 0$

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$2 (x^{3} - 1^{3}) = 0$

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$2 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x$ на $1$ .

$2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

Единица в любой степени равна единице.

$2 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Приравняем $x^{2} + x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x^{2} + x + 1$ к $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Решим $x^{2} + x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ верно.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Step 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Зададим знаменатель в $\frac{2}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Step 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1$

Step 8

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4}{{(1)}^{3}} + 2$

Step 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{4}{1} + 2$

Разделим $4$ на $1$ .

$4 + 2$

Добавим $4$ и $2$ .

$6$

Step 10

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Step 11

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} + \frac{2}{1}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 + \frac{2}{1}$

Разделим $2$ на $1$ .

$f (1) = 1 + 2$

Добавим $1$ и $2$ .

$f (1) = 3$

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Step 12

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ .

$(1, 3)$ — локальный минимум

Step 13