Математический анализ Примеры

$\ln (x^{2} + 16)$

Step 1

Запишем $\ln (x^{2} + 16)$ в виде функции.

$f (x) = \ln (x^{2} + 16)$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 16$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 16$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{2} + 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (16))$

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x + 0)$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x)$

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2} + 16}$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 16} \cdot x$

Объединим $\frac{2}{x^{2} + 16}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 16}$

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{x^{2} + 16}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 16})$

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 16$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Умножим $x^{2} + 16$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

По правилу суммы производная $x^{2} + 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Объединим $2$ и $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Умножим $2$ на $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$- 2 x^{2} + 32 = 0$

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $32$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{2} = - 32$

Разделим каждый член $- 2 x^{2} = - 32$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- 2 x^{2} = - 32$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 32}{- 2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $- 32$ на $- 2$ .

$x^{2} = 16$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{16}$

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

Step 3

Найдем область определения $f (x) = \ln (x^{2} + 16)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Зададим аргумент в $\ln (x^{2} + 16)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} + 16 > 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $16$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} > - 16$

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Step 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Step 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 4)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 2 {(- 6)}^{2} + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Умножим $- 2$ на $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 72 + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Добавим $- 72$ и $32$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{{(36 + 16)}^{2}}$

Добавим $36$ и $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{52^{2}}$

Возведем $52$ в степень $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{2704}$

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $- 40$ и $2704$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $8$ из $- 40$ .

$f'' (- 6) = \frac{8 (- 5)}{2704}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $8$ из $2704$ .

$f'' (- 6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

Сократим общий множитель.

$f'' (- 6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

Перепишем это выражение.

$f'' (- 6) = \frac{- 5}{338}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 6) = - \frac{5}{338}$

Окончательный ответ: $- \frac{5}{338}$ .

$- \frac{5}{338}$

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, - 4)$ , поскольку $f'' (- 6)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 4)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Step 6

Подставим любое число из интервала $(- 4, 4)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 32}{{({(0)}^{2} + 16)}^{2}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

Добавим $0$ и $32$ .

$f'' (0) = \frac{32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{32}{{(0 + 16)}^{2}}$

Добавим $0$ и $16$ .

$f'' (0) = \frac{32}{16^{2}}$

Возведем $16$ в степень $2$ .

$f'' (0) = \frac{32}{256}$

Сократим общий множитель $32$ и $256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $32$ из $32$ .

$f'' (0) = \frac{32 (1)}{256}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $32$ из $256$ .

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 8}$

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 8}$

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{1}{8}$

Окончательный ответ: $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8}$

График вогнут вверх на интервале $(- 4, 4)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- 4, 4)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Step 7

Подставим любое число из интервала $(4, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f'' (6) = \frac{- 2 {(6)}^{2} + 32}{{({(6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 32}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

Умножим $- 2$ на $36$ .

$f'' (6) = \frac{- 72 + 32}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

Добавим $- 72$ и $32$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{{(36 + 16)}^{2}}$

Добавим $36$ и $16$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{52^{2}}$

Возведем $52$ в степень $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{2704}$

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $- 40$ и $2704$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $8$ из $- 40$ .

$f'' (6) = \frac{8 (- 5)}{2704}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $8$ из $2704$ .

$f'' (6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

Сократим общий множитель.

$f'' (6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

Перепишем это выражение.

$f'' (6) = \frac{- 5}{338}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (6) = - \frac{5}{338}$

Окончательный ответ: $- \frac{5}{338}$ .

$- \frac{5}{338}$

График вогнут вниз на интервале $(4, \infty)$ , поскольку $f'' (6)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(4, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Step 8

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 4)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- 4, 4)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(4, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Step 9