Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{64 - x^{2}}$ , $y = 0$

Step 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\sqrt{64 - x^{2}} = 0$

Решим $\sqrt{64 - x^{2}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{64 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{64 - x^{2}}$ в виде ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим ${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перемножим экспоненты в ${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Перепишем это выражение.

${(64 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Упростим.

$64 - x^{2} = 0^{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$64 - x^{2} = 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 64$

Разделим каждый член $- x^{2} = - 64$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- x^{2} = - 64$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 64}{- 1}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 64}{- 1}$

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 64}{- 1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $- 64$ на $- 1$ .

$x^{2} = 64$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64}$

Упростим $\pm \sqrt{64}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 8$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 8$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 8$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 8, - 8$

Подставим $8$ вместо $x$ .

$y = 0$

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(8, 0)$

$(- 8, 0)$

$(8, 0)$

$(- 8, 0)$

Step 2

Упростим $\sqrt{64 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$y = \sqrt{8^{2} - x^{2}}$

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 8$ и $b = x$ .

$y = \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$

Step 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} d x - \int_{- 8}^{8} 0 d x$

Step 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 8$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} - (0) d x$

Вычтем $0$ из $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ .

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} d x$

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Развернем $(8 + x) (8 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (8 - x) + x (8 - x)$

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \cdot 8 + 8 (- x) + x (8 - x)$

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \cdot 8 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x)$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $8$ на $8$ .

$64 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x)$

Умножим $- 1$ на $8$ .

$64 - 8 x + x \cdot 8 + x (- x)$

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$64 - 8 x + 8 \cdot x + x (- x)$

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$64 - 8 x + 8 x - x \cdot x$

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)$

Умножим $x$ на $x$ .

$64 - 8 x + 8 x - x^{2}$

Добавим $- 8 x$ и $8 x$ .

$64 + 0 - x^{2}$

Добавим $64$ и $0$ .

$64 - x^{2}$

Изменим порядок $64$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 64$

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 64$

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Перепишем $- 1 \cdot 0$ в виде $- 0$ .

$d = - 0$

Умножим $- 1$ на $0$ .

$d = 0$

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 64 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = 64 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 64 - \frac{0}{- 4}$

Разделим $0$ на $- 4$ .

$e = 64 - 0$

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = 64 + 0$

Добавим $64$ и $0$ .

$e = 64$

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x + 0)}^{2} + 64$ .

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 64} d x$

Пусть $u_{1} = x + 0$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть $u_{1} = x + 0$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Дифференцируем $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

По правилу суммы производная $x + 0$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x + 0$ .

$u_{lower} = - 8 + 0$

Добавим $- 8$ и $0$ .

$u_{lower} = - 8$

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x + 0$ .

$u_{upper} = 8 + 0$

Добавим $8$ и $0$ .

$u_{upper} = 8$

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 8 u_{upper} = 8$

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 64} d u_{1}$

Пусть $u_{1} = 8 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d u_{1} = 8 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $8 \cos (t)$ положительно.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- {(8 \sin (t))}^{2} + 64} (8 \cos (t)) d t$

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $\sqrt{- {(8 \sin (t))}^{2} + 64}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $8 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (8^{2} \sin^{2} (t)) + 64} (8 \cos (t)) d t$

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (64 \sin^{2} (t)) + 64} (8 \cos (t)) d t$

Умножим $64$ на $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- 64 \sin^{2} (t) + 64} (8 \cos (t)) d t$

Изменим порядок $- 64 \sin^{2} (t)$ и $64$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Вынесем множитель $64$ из $64$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Вынесем множитель $64$ из $- 64 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Вынесем множитель $64$ из $64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1 - \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Применим формулу Пифагора.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 \cos^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Перепишем $64 \cos^{2} (t)$ в виде ${(8 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(8 \cos (t))}^{2}} (8 \cos (t)) d t$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 8 \cos (t) (8 \cos (t)) d t$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $8$ на $8$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 \cos (t) \cos (t) d t$

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 \cos^{2} (t) d t$

Поскольку $64$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $64$ из-под знака интеграла.

$64 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (t)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$64 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$64 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{1}{2}$ и $64$ .

$\frac{64}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Сократим общий множитель $64$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Перепишем это выражение.

$\frac{32}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Разделим $32$ на $1$ .

$32 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$32 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Пусть $u_{2} = 2 t$ . Тогда $d u_{2} = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть $u_{2} = 2 t$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = - π$

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = π$

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - π u_{upper} = π$

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ .

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение $t$ в $\frac{π}{2}$ и в $- \frac{π}{2}$ .

$32 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Найдем значение $\sin (u_{2})$ в $π$ и в $- π$ .

$32 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим числители над общим знаменателем.

$32 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Добавим $π$ и $π$ .

$32 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$32 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Разделим $π$ на $1$ .

$32 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$32 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$32 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$32 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$32 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$32 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Умножим $- 1$ на $0$ .

$32 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Добавим $0$ и $0$ .

$32 (π + \frac{0}{2})$

Разделим $0$ на $2$ .

$32 (π + 0)$

Добавим $π$ и $0$ .

$32 π$

Step 5