Математический анализ Примеры

$\sqrt{1 - x^{2}}$

Step 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{1 - x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$1 - x^{2} \geq 0$

Step 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 1$

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 1$

Возьмем квадратный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| x | \leq 1$

Запишем $| x | \leq 1$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 1$

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 1$

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Найдем пересечение $x \leq 1$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Решим $- x \leq 1$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- x \leq 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- x \leq 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x \geq - 1$

Найдем пересечение $x \geq - 1$ и $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Найдем объединение решений.

$- 1 \leq x \leq 1$

Step 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 1, 1]$

Обозначение построения множества:

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

Step 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, 1]$

Обозначение построения множества:

${y | 0 \leq y \leq 1}$

Step 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[- 1, 1], {x | - 1 \leq x \leq 1}$

Диапазон: $[0, 1], {y | 0 \leq y \leq 1}$

Step 6