Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 9}$

Step 1

Запишем $\frac{x^{2}}{x^{2} + 9}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 9}$

Step 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 9$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 9) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

По правилу суммы производная $x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 9) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 9) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 9) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 9) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 9) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 9) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (x^{2} + 9) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 9) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 9) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 9 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 9 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 9 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 9 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 9 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{2 x^{3} + 18 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} + 18 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{18 x + 0}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Добавим $18 x$ и $0$ .

$\frac{18 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Step 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{18 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 18 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

$f'' (x) = 18 (\frac{{(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{({(x^{2} + 9)}^{2})}^{2}})$

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 9)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{{(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2 \cdot 2}})$

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{{(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{{(x^{2} + 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}})$

Умножим ${(x^{2} + 9)}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{{(x^{2} + 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}})$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 9$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{{(x^{2} + 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{{(x^{2} + 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}})$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 9$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{{(x^{2} + 9)}^{2} - x (2 (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}})$

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{{(x^{2} + 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}})$

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из ${(x^{2} + 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из ${(x^{2} + 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} + 9) - 2 x ((x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}})$

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $- 2 x ((x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} + 9) + (x^{2} + 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 9)))}{{(x^{2} + 9)}^{4}})$

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9) + (x^{2} + 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]))$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 9)))}{{(x^{2} + 9)}^{4}})$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из ${(x^{2} + 9)}^{4}$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 9)))}{(x^{2} + 9) {(x^{2} + 9)}^{3}})$

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 18 (\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 9)))}{(x^{2} + 9) {(x^{2} + 9)}^{3}})$

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 18 (\frac{x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{3}})$

По правилу суммы производная $x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{3}})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{x^{2} + 9 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{3}})$

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{x^{2} + 9 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{3}})$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{x^{2} + 9 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{3}})$

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{x^{2} + 9 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{3}})$

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{x^{2} + 9 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 9)}^{3}})$

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{x^{2} + 9 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 9)}^{3}})$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 18 (\frac{x^{2} + 9 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{3}})$

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{x^{2} + 9 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{3}})$

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = 18 (\frac{- 3 x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{3}})$

Объединим $18$ и $\frac{- 3 x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{18 (- 3 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{18 (- 3 x^{2}) + 18 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 3$ на $18$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 x^{2} + 18 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

Умножим $18$ на $9$ .

$f'' (x) = \frac{- 54 x^{2} + 162}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

Вынесем множитель $54$ из $- 54 x^{2} + 162$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $54$ из $- 54 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{54 (- x^{2}) + 162}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

Вынесем множитель $54$ из $162$ .

$f'' (x) = \frac{54 (- x^{2}) + 54 (3)}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

Вынесем множитель $54$ из $54 (- x^{2}) + 54 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{54 (- x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{54 (- (x^{2}) + 3)}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{54 (- (x^{2}) - 1 \cdot - 3)}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{54 (- (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

Перепишем $- (x^{2} - 3)$ в виде $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{54 (- 1 (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{54 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

Step 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{18 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Step 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 9) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 9$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 9) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

По правилу суммы производная $x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 9) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 9) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 9) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 9) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 9) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 9) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 9) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 9) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 9) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (9 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (9 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (9 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (9 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (9 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Умножим $2$ на $9$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 18 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} + 18 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{18 x + 0}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Добавим $18 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{18 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{18 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{18 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Step 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{18 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{18 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$18 x = 0$

Разделим каждый член $18 x = 0$ на $18$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $18 x = 0$ на $18$ .

$\frac{18 x}{18} = \frac{0}{18}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{18 x}{18} = \frac{0}{18}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{18}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0$ на $18$ .

$x = 0$

Step 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Step 9

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{54 ({(0)}^{2} - 3)}{{({(0)}^{2} + 9)}^{3}}$

Step 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{54 (0 - 3)}{{(0^{2} + 9)}^{3}}$

Вычтем $3$ из $0$ .

$- \frac{54 \cdot - 3}{{(0^{2} + 9)}^{3}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{54 \cdot - 3}{{(0 + 9)}^{3}}$

Добавим $0$ и $9$ .

$- \frac{54 \cdot - 3}{9^{3}}$

Возведем $9$ в степень $3$ .

$- \frac{54 \cdot - 3}{729}$

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $54$ на $- 3$ .

$- \frac{- 162}{729}$

Сократим общий множитель $- 162$ и $729$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $81$ из $- 162$ .

$- \frac{81 (- 2)}{729}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $81$ из $729$ .

$- \frac{81 \cdot - 2}{81 \cdot 9}$

Сократим общий множитель.

$- \frac{81 \cdot - 2}{81 \cdot 9}$

Перепишем это выражение.

$- \frac{- 2}{9}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{2}{9}$

Умножим $- - \frac{2}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{2}{9})$

Умножим $\frac{2}{9}$ на $1$ .

$\frac{2}{9}$

Step 11

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Step 12

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} + 9}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} + 9}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 9}$

Добавим $0$ и $9$ .

$f (0) = \frac{0}{9}$

Разделим $0$ на $9$ .

$f (0) = 0$

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Step 13

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 9}$ .

$(0, 0)$ — локальный минимум

Step 14