Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} - 2 x + 8$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (8)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f' (x) = 2 x - 2 + \frac{d}{d x} (8)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2 + 0$

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x - 2$ .

$2 x - 2$

Step 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x - 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 2$

Разделим каждый член $2 x = 2$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = 2$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $2$ на $2$ .

$x = 1$

Step 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 4

Вычислим $x^{2} - 2 x + 8$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $1$ вместо $x$ .

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 8$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 2 \cdot 1 + 8$

Умножим $- 2$ на $1$ .

$1 - 2 + 8$

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 1 + 8$

Добавим $- 1$ и $8$ .

$7$

Перечислим все точки.

$(1, 7)$

Step 5