Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 9}$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Умножим $x^{2} - 9$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

По правилу суммы производная $x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Step 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 9) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 9) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 9) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

По правилу суммы производная $- x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

По правилу суммы производная $x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (2 x))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) (2 \cdot ((x^{2} - 9) x))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) ((x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} - 9)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Перепишем ${(x^{2} - 9)}^{2}$ в виде $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} - 9) (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Развернем $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} - 9) - 9 (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Перенесем $- 9$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 9 \cdot x^{2} - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Умножим $- 9$ на $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Вычтем $9 x^{2}$ из $- 9 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 18 x^{2} + 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (- 18 x^{2}) - 2 \cdot 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 18$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 36 x^{2} - 2 \cdot 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Умножим $- 2$ на $81$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 36 x^{2} - 162) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 (x \cdot x^{2}) - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 (x \cdot x^{2}) - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{1 + 2} - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{2 + 1} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Развернем $(4 x^{2} + 36) (x^{3} - 9 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} (x^{3} - 9 x) + 36 (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 x^{2} x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 (x \cdot x^{2})) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 (x \cdot x^{2})) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 x^{1 + 2}) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 x^{3}) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Умножим $4$ на $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 36 x^{3} + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Умножим $- 9$ на $36$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 36 x^{3} + 36 x^{3} - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Добавим $- 36 x^{3}$ и $36 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 0 - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Добавим $4 x^{5}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Добавим $- 2 x^{5}$ и $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Вычтем $324 x$ из $- 162 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 36 x^{3} - 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5} + 36 x^{3} - 486 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 36 x^{3} - 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Вынесем множитель $2 x$ из $36 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (18 x^{2}) - 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Вынесем множитель $2 x$ из $- 486 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (18 x^{2}) + 2 x (- 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4}) + 2 x (18 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 18 x^{2}) + 2 x (- 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4} + 18 x^{2}) + 2 x (- 243)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} + 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} + 18 u - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Разложим $u^{2} + 18 u - 243$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 243$ , а сумма — $18$ .

$- 9, 27$

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 9) (u + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 9) (x^{2} + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{4}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{4}}$

Применим правило умножения к $(x + 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Сократим общий множитель $x + 3$ и ${(x + 3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x + 3$ из $2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((2 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x + 3$ из ${(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((2 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((2 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(2 x (x - 3)) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Сократим общий множитель $x - 3$ и ${(x - 3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x - 3$ из $(2 x (x - 3)) (x^{2} + 27)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((2 x) (x^{2} + 27))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x - 3$ из ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((2 x) (x^{2} + 27))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((2 x) (x^{2} + 27))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Step 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$