Математический анализ Примеры

$y = 2 x$ , $y = 2 \sqrt{x}$

Step 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$2 x = 2 \sqrt{x}$

Решим $2 x = 2 \sqrt{x}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$2 \sqrt{x} = 2 x$

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Перепишем это выражение.

$4 x^{1} = {(2 x)}^{2}$

Упростим.

$4 x = {(2 x)}^{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим ${(2 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $2 x$ .

$4 x = 2^{2} x^{2}$

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 x = 4 x^{2}$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 x - 4 x^{2} = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$4 u - 4 u^{2} = 0$

Вынесем множитель $4 u$ из $4 u - 4 u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4 u$ из $4 u$ .

$4 u (1) - 4 u^{2} = 0$

Вынесем множитель $4 u$ из $- 4 u^{2}$ .

$4 u (1) + 4 u (- u) = 0$

Вынесем множитель $4 u$ из $4 u (1) + 4 u (- u)$ .

$4 u (1 - u) = 0$

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$4 x (1 - x) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = 2 \sqrt{x}$

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (1 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 2 \sqrt{0}$

Упростим $2 \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Избавимся от скобок.

$y = 2 \sqrt{0}$

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$y = 2 \sqrt{0^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 2 \cdot 0$

Умножим $2$ на $0$ .

$y = 0$

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = 2 \sqrt{1}$

Упростим $2 \sqrt{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Избавимся от скобок.

$y = 2 \sqrt{1}$

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = 2 \cdot 1$

Умножим $2$ на $1$ .

$y = 2$

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(1, 2)$

$(0, 0)$

$(1, 2)$

Step 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} d x - \int_{0}^{1} 2 x d x$

Step 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} - (2 x) d x$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} - 2 x d x$

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) - 2 \int_{0}^{1} x d x$

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$2 (\frac{2 \cdot 1}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Умножим $2$ на $1$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Умножим $2$ на $0$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (\frac{2}{3} - 0) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (\frac{2}{3} + 0) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Добавим $\frac{2}{3}$ и $0$ .

$2 (\frac{2}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Объединим $2$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - 0)$

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} + 0)$

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2})$

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 2}{2}$

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{3} + \frac{- 1}{1}$

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4}{3} - 1$

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{4 - 3}{3}$

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{1}{3}$

Step 4