Математический анализ Примеры

$x = 4 \sqrt{3 y}$ , $x = 0$ , $y = 3$

Step 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{12} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = 3$ и $g (x) = \frac{x^{2}}{48}$

Step 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $3$ в степень $2$ .

$V = 9 - {(\frac{x^{2}}{48})}^{2}$

Применим правило умножения к $\frac{x^{2}}{48}$ .

$V = 9 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{48^{2}}$

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 - \frac{x^{2 \cdot 2}}{48^{2}}$

Умножим $2$ на $2$ .

$V = 9 - \frac{x^{4}}{48^{2}}$

Возведем $48$ в степень $2$ .

$V = 9 - \frac{x^{4}}{2304}$

Step 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{12} 9 d x + \int_{0}^{12} - \frac{x^{4}}{2304} d x)$

Step 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V = π (9 x]_{0}^{12} + \int_{0}^{12} - \frac{x^{4}}{2304} d x)$

Step 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \int_{0}^{12} \frac{x^{4}}{2304} d x)$

Step 6

Поскольку $\frac{1}{2304}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2304}$ из-под знака интеграла.

$V = π (9 x]_{0}^{12} - (\frac{1}{2304} \cdot \int_{0}^{12} x^{4} d x))$

Step 7

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \frac{1}{2304} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{12})$

Step 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \frac{1}{2304} \cdot \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12})$

Объединим $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12}$ и $\frac{1}{2304}$ .

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12}}{2304})$

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение $9 x$ в $12$ и в $0$ .

$V = π ((9 \cdot 12) - 9 \cdot 0 - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12}}{2304})$

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5}$ в $12$ и в $0$ .

$V = π ((9 \cdot 12) - 9 \cdot 0 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $9$ на $12$ .

$V = π (108 - 9 \cdot 0 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

Умножим $- 9$ на $0$ .

$V = π (108 + 0 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

Добавим $108$ и $0$ .

$V = π (108 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

Возведем $12$ в степень $5$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{0}{5}}{2304})$

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{2304})$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{2304})$

Сократим общий множитель.

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{2304})$

Перепишем это выражение.

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{0}{1}}{2304})$

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - 0}{2304})$

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} + 0}{2304})$

Добавим $\frac{248832}{5}$ и $0$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5}}{2304})$

Перепишем $\frac{\frac{248832}{5}}{2304}$ в виде произведения.

$V = π (108 - (\frac{248832}{5} \cdot \frac{1}{2304}))$

Умножим $\frac{248832}{5}$ на $\frac{1}{2304}$ .

$V = π (108 - \frac{248832}{5 \cdot 2304})$

Умножим $5$ на $2304$ .

$V = π (108 - \frac{248832}{11520})$

Сократим общий множитель $248832$ и $11520$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2304$ из $248832$ .

$V = π (108 - \frac{2304 (108)}{11520})$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2304$ из $11520$ .

$V = π (108 - \frac{2304 \cdot 108}{2304 \cdot 5})$

Сократим общий множитель.

$V = π (108 - \frac{2304 \cdot 108}{2304 \cdot 5})$

Перепишем это выражение.

$V = π (108 - \frac{108}{5})$

Чтобы записать $108$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (108 \cdot \frac{5}{5} - \frac{108}{5})$

Объединим $108$ и $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{108 \cdot 5}{5} - \frac{108}{5})$

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{108 \cdot 5 - 108}{5})$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $108$ на $5$ .

$V = π (\frac{540 - 108}{5})$

Вычтем $108$ из $540$ .

$V = π (\frac{432}{5})$

Объединим $π$ и $\frac{432}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 432}{5}$

Перенесем $432$ влево от $π$ .

$V = \frac{432 π}{5}$

Step 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{432 π}{5}$

Десятичная форма:

$V = 271.43360527 \dots$

Step 10