Математический анализ Примеры

$\frac{2 x}{x^{2} - 4}$

Step 1

Запишем $\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 4}$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 4}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 4})$

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Умножим $x^{2} - 4$ на $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Объединим $2$ и $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}}$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

По правилу суммы производная $- 2 x^{2} - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Добавим $- 4 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) (2 \cdot ((x^{2} - 4) x))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 4 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) ((x^{2} - 4) x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(x^{2} - 4)}^{2} x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Перепишем ${(x^{2} - 4)}^{2}$ в виде $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} - 4) (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Развернем $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} (x^{2} - 4) - 4 (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Перенесем $- 4$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 4 \cdot x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 8 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 32 x^{2} - 4 \cdot 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Умножим $- 4$ на $16$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} x + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{1 + 4} + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 (x \cdot x^{2}) - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 (x \cdot x^{2}) - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{1 + 2} - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2 + 1} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Развернем $(8 x^{2} + 32) (x^{3} - 4 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} (x^{3} - 4 x) + 32 (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{3 + 2} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{2} x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{3}) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Умножим $8$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Умножим $- 4$ на $32$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{3} - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Добавим $- 32 x^{3}$ и $32 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 0 - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Добавим $8 x^{5}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Добавим $- 4 x^{5}$ и $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Вычтем $128 x$ из $- 64 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 32 x^{3} - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{5} + 32 x^{3} - 192 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 32 x^{3} - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Вынесем множитель $4 x$ из $32 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2}) - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Вынесем множитель $4 x$ из $- 192 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2}) + 4 x (- 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 8 x^{2}) + 4 x (- 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{4} + 8 x^{2}) + 4 x (- 48)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f'' (x) = \frac{4 x (u^{2} + 8 u - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Разложим $u^{2} + 8 u - 48$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 48$ , а сумма — $8$ .

$- 4, 12$

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f'' (x) = \frac{4 x ((u - 4) (u + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{4}}$

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{((x + 2) (x - 2))}^{4}}$

Применим правило умножения к $(x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Сократим общий множитель $x + 2$ и ${(x + 2)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x + 2$ из $4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x + 2$ из ${(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(4 x (x - 2)) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Сократим общий множитель $x - 2$ и ${(x - 2)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x - 2$ из $(4 x (x - 2)) (x^{2} + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x - 2$ из ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(4 x) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$4 x (x^{2} + 12) = 0$

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 12 = 0$

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Приравняем $x^{2} + 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x^{2} + 12$ к $0$ .

$x^{2} + 12 = 0$

Решим $x^{2} + 12 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 12$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 12}$

Упростим $\pm \sqrt{- 12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (12)}$

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{12}$

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}$

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{3})$

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{3}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i \sqrt{3}$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i \sqrt{3}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (x^{2} + 12) = 0$ верно.

$x = 0, 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Step 3

Найдем область определения $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Зададим знаменатель в $\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 4 = 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 4$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 2, - 2}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 2, - 2}$

Step 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Step 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 2)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{4 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 12)}{{((- 4) + 2)}^{3} {((- 4) - 2)}^{3}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $4$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $- 4$ и $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Вычтем $2$ из $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} {(- 6)}^{3}}$

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{- 8 {(- 6)}^{3}}$

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{- 8 \cdot - 216}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 (16 + 12)}{- 8 \cdot - 216}$

Добавим $16$ и $12$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 \cdot 28}{- 8 \cdot - 216}$

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 8$ на $- 216$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 \cdot 28}{1728}$

Умножим $- 16$ на $28$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 448}{1728}$

Сократим общий множитель $- 448$ и $1728$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $64$ из $- 448$ .

$f'' (- 4) = \frac{64 (- 7)}{1728}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $64$ из $1728$ .

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot - 7}{64 \cdot 27}$

Сократим общий множитель.

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot - 7}{64 \cdot 27}$

Перепишем это выражение.

$f'' (- 4) = \frac{- 7}{27}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 4) = - \frac{7}{27}$

Окончательный ответ: $- \frac{7}{27}$ .

$- \frac{7}{27}$

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, - 2)$ , поскольку $f'' (- 4)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 2)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Step 6

Подставим любое число из интервала $(- 2, 0)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{4 (- 1) ({(- 1)}^{2} + 12)}{{((- 1) + 2)}^{3} {((- 1) - 2)}^{3}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{{(- 1 + 2)}^{3} {(- 1 - 2)}^{3}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} {(- 1 - 2)}^{3}}$

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} {(- 3)}^{3}}$

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1 {(- 3)}^{3}}$

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1 \cdot - 27}$

Умножим $- 27$ на $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{- 27}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 (1 + 12)}{- 27}$

Добавим $1$ и $12$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 \cdot 13}{- 27}$

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $13$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 52}{- 27}$

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$f'' (- 1) = \frac{52}{27}$

Окончательный ответ: $\frac{52}{27}$ .

$\frac{52}{27}$

График вогнут вверх на интервале $(- 2, 0)$ , поскольку $f'' (- 1)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- 2, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Step 7

Подставим любое число из интервала $(0, 2)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1) ({(1)}^{2} + 12)}{{((1) + 2)}^{3} {((1) - 2)}^{3}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{{(1 + 2)}^{3} {(1 - 2)}^{3}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{3^{3} {(1 - 2)}^{3}}$

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{3^{3} {(- 1)}^{3}}$

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{27 {(- 1)}^{3}}$

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{27 \cdot - 1}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (1) = \frac{4 (1 + 12)}{27 \cdot - 1}$

Добавим $1$ и $12$ .

$f'' (1) = \frac{4 \cdot 13}{27 \cdot - 1}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $27$ на $- 1$ .

$f'' (1) = \frac{4 \cdot 13}{- 27}$

Умножим $4$ на $13$ .

$f'' (1) = \frac{52}{- 27}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (1) = - \frac{52}{27}$

Окончательный ответ: $- \frac{52}{27}$ .

$- \frac{52}{27}$

График вогнут вниз на интервале $(0, 2)$ , поскольку $f'' (1)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(0, 2)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Step 8

Подставим любое число из интервала $(2, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f'' (4) = \frac{4 (4) ({(4)}^{2} + 12)}{{((4) + 2)}^{3} {((4) - 2)}^{3}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $4$ и $2$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{6^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Вычтем $2$ из $4$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{6^{3} \cdot 2^{3}}$

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{216 \cdot 2^{3}}$

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{216 \cdot 8}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f'' (4) = \frac{16 (16 + 12)}{216 \cdot 8}$

Добавим $16$ и $12$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 28}{216 \cdot 8}$

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $216$ на $8$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 28}{1728}$

Умножим $16$ на $28$ .

$f'' (4) = \frac{448}{1728}$

Сократим общий множитель $448$ и $1728$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $64$ из $448$ .

$f'' (4) = \frac{64 (7)}{1728}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $64$ из $1728$ .

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 7}{64 \cdot 27}$

Сократим общий множитель.

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 7}{64 \cdot 27}$

Перепишем это выражение.

$f'' (4) = \frac{7}{27}$

Окончательный ответ: $\frac{7}{27}$ .

$\frac{7}{27}$

График вогнут вверх на интервале $(2, \infty)$ , поскольку $f'' (4)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(2, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Step 9

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 2)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- 2, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(0, 2)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(2, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Step 10