Математический анализ Примеры

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3 + \frac{d}{d x} (1)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3 + 0$

Добавим $3 x^{2} + 6 x + 3$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + 6 x + 3$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 6 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 6 x + 3 = 0$

Вынесем множитель $3$ из $6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) + 3 = 0$

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (1) = 0$

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 (1) = 0$

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} + 2 x) + 3 (1)$ .

$3 (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$3 (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Перепишем многочлен.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} = 0$

Разделим каждый член $3 {(x + 1)}^{2} = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $3 {(x + 1)}^{2} = 0$ на $3$ .

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Разделим ${(x + 1)}^{2}$ на $1$ .

${(x + 1)}^{2} = \frac{0}{3}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0$ на $3$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

${(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} + 3 (- 1) + 1$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 + 3 {(- 1)}^{2} + 3 (- 1) + 1$

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 + 3 (- 1) + 1$

Умножим $3$ на $1$ .

$- 1 + 3 + 3 (- 1) + 1$

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 1 + 3 - 3 + 1$

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $- 1$ и $3$ .

$2 - 3 + 1$

Вычтем $3$ из $2$ .

$- 1 + 1$

Добавим $- 1$ и $1$ .

$0$

Перечислим все точки.

$(- 1, 0)$

Этап 5