Математический анализ Примеры

$e^{6 x} + e^{- x}$

Step 1

Запишем $e^{6 x} + e^{- x}$ в виде функции.

$f (x) = e^{6 x} + e^{- x}$

Step 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $e^{6 x} + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{6 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $6 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $6 x$ .

$f' (x) = e^{6 x} \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = e^{6 x} (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Умножим $6$ на $1$ .

$f' (x) = e^{6 x} \cdot 6 + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Перенесем $6$ влево от $e^{6 x}$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} - e^{- x}$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 e^{6 x} - e^{- x}$ .

$6 e^{6 x} - e^{- x}$

Step 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 e^{6 x} - e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 e^{6 x} - e^{- x} = 0$

Перенесем $- e^{- x}$ в правую часть уравнения, прибавив данный член к обеим частям.

$6 e^{6 x} = e^{- x}$

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (6 e^{6 x}) = \ln (e^{- x})$

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\ln (6 e^{6 x})$ в виде $\ln (6) + \ln (e^{6 x})$ .

$\ln (6) + \ln (e^{6 x}) = \ln (e^{- x})$

Развернем $\ln (e^{6 x})$ , вынося $6 x$ из логарифма.

$\ln (6) + 6 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (6) + 6 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Умножим $6$ на $1$ .

$\ln (6) + 6 x = \ln (e^{- x})$

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Развернем $\ln (e^{- x})$ , вынося $- x$ из логарифма.

$\ln (6) + 6 x = - x \ln (e)$

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (6) + 6 x = - x \cdot 1$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (6) + 6 x = - x$

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$\ln (6) + 6 x + x = 0$

Добавим $6 x$ и $x$ .

$\ln (6) + 7 x = 0$

Вычтем $\ln (6)$ из обеих частей уравнения.

$7 x = - \ln (6)$

Разделим каждый член $7 x = - \ln (6)$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $7 x = - \ln (6)$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- \ln (6)}{7}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- \ln (6)}{7}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (6)}{7}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (6)}{7}$

Step 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $- \frac{\ln (6)}{7}$ .

$- \frac{\ln (6)}{7}$

Step 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = 6 e^{6 x} - e^{- x}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = e^{6 x} + e^{- x}$ в интервале $(- \infty, - \frac{\ln (6)}{7}) \cup (- \frac{\ln (6)}{7}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{\ln (6)}{7}) \cup (- \frac{\ln (6)}{7}, \infty)$

Step 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{\ln (6)}{7})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.25596563$ .

$f' (- 1.25596563) = 6 e^{6 (- 1.25596563)} - e^{- (- 1.25596563)}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $6$ на $- 1.25596563$ .

$f' (- 1.25596563) = 6 e^{- 7.53579383} - e^{- (- 1.25596563)}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.25596563) = 6 (\frac{1}{e^{7.53579383}}) - e^{- (- 1.25596563)}$

Объединим $6$ и $\frac{1}{e^{7.53579383}}$ .

$f' (- 1.25596563) = \frac{6}{e^{7.53579383}} - e^{- (- 1.25596563)}$

Умножим $- 1$ на $- 1.25596563$ .

$f' (- 1.25596563) = \frac{6}{e^{7.53579383}} - e^{1.25596563}$

Окончательный ответ: $\frac{6}{e^{7.53579383}} - e^{1.25596563}$ .

$\frac{6}{e^{7.53579383}} - e^{1.25596563}$

Упростим.

$- 3.50802548$

При $x = - 1.25596563$ производная имеет вид $- 3.50802548$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - \frac{\ln (6)}{7})$ .

Убывание на $(- \infty, - \frac{\ln (6)}{7})$ , так как $f' (x) < 0$

Step 7

Подставим значение из интервала $(- \frac{\ln (6)}{7}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.74403436$ .

$f' (0.74403436) = 6 e^{6 (0.74403436)} - e^{- (0.74403436)}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $6$ на $0.74403436$ .

$f' (0.74403436) = 6 e^{4.46420616} - e^{- (0.74403436)}$

Умножим $- 1$ на $0.74403436$ .

$f' (0.74403436) = 6 e^{4.46420616} - e^{- 0.74403436}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.74403436) = 6 e^{4.46420616} - \frac{1}{e^{0.74403436}}$

Окончательный ответ: $6 e^{4.46420616} - \frac{1}{e^{0.74403436}}$ .

$6 e^{4.46420616} - \frac{1}{e^{0.74403436}}$

Упростим.

$520.63714505$

При $x = 0.74403436$ производная имеет вид $520.63714505$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \frac{\ln (6)}{7}, \infty)$ .

Возрастание в области $(- \frac{\ln (6)}{7}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Step 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \frac{\ln (6)}{7}, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - \frac{\ln (6)}{7})$

Step 9