Математический анализ Примеры

$x^{3} - 3 x + 1$

Step 1

Запишем $x^{3} - 3 x + 1$ в виде функции.

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$

Step 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{3} - 3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} (1)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 + 0$

Добавим $3 x^{2} - 3$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 3$ .

$3 x^{2} - 3$

Step 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 3 = 0$

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} = 3$

Разделим каждый член $3 x^{2} = 3$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $3 x^{2} = 3$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $3$ на $3$ .

$x^{2} = 1$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Step 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $1, - 1$ .

$1, - 1$

Step 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Step 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 3$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = 3 \cdot 4 - 3$

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (- 2) = 12 - 3$

Вычтем $3$ из $12$ .

$f' (- 2) = 9$

Окончательный ответ: $9$ .

$9$

При $x = - 2$ производная имеет вид $9$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 1)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 1)$ , так как $f' (x) > 0$

Step 7

Подставим значение из интервала $(- 1, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 3$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 3$

Умножим $3$ на $0$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Вычтем $3$ из $0$ .

$f' (0) = - 3$

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

При $x = 0$ производная имеет вид $- 3$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 1, 1)$ .

Убывание на $(- 1, 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Step 8

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 3$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 3$

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (2) = 12 - 3$

Вычтем $3$ из $12$ .

$f' (2) = 9$

Окончательный ответ: $9$ .

$9$

При $x = 2$ производная имеет вид $9$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(1, \infty)$ .

Возрастание в области $(1, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Step 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Убывание на: $(- 1, 1)$

Step 10