Математический анализ Примеры

$y = t \ln^{2} (3 t)$

Step 1

Избавимся от скобок.

$y = t \ln^{2} (3 t)$

Step 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (3 t))$

Step 3

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Step 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = \ln^{2} (3 t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (3 t)] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = \ln (3 t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (3 t)$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (3 t)]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (3 t)]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (3 t)$ .

$t (2 \ln (3 t) \frac{d}{d t} [\ln (3 t)]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 t$ .

$t (2 \ln (3 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$t (2 \ln (3 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [3 t])) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 t$ .

$t (2 \ln (3 t) (\frac{1}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t])) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{1}{3 t}$ и $2$ .

$t (\frac{2}{3 t} \ln (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{2}{3 t}$ и $\ln (3 t)$ .

$t (\frac{2 \ln (3 t)}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Объединим $\frac{2 \ln (3 t)}{3 t}$ и $t$ .

$\frac{2 \ln (3 t) t}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \ln (3 t) t}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \ln (3 t)}{3} \frac{d}{d t} [3 t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 \ln (3 t)}{3} (3 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $3$ и $\frac{2 \ln (3 t)}{3}$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 \ln (3 t)}{3} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $6 \ln (3 t)$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3 (1)} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \ln (3 t)}{1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Разделим $2 \ln (3 t)$ на $1$ .

$2 \ln (3 t) \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \ln (3 t) \cdot 1 + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \ln (3 t) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \ln (3 t) + \ln^{2} (3 t) \cdot 1$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\ln^{2} (3 t)$ на $1$ .

$2 \ln (3 t) + \ln^{2} (3 t)$

Изменим порядок членов.

$\ln^{2} (3 t) + 2 \ln (3 t)$

Step 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \ln^{2} (3 t) + 2 \ln (3 t)$

Step 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (3 t) + 2 \ln (3 t)$