Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{e^{x} - 1}$

Step 1

Найдем, где выражение $\frac{1}{e^{x} - 1}$ не определено.

$x = 0$

Step 2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{e^{x} - 1}$ стремится к $0$ .

$0$

Step 3

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{x} - 1}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 1}$

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 1}$

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 1}$

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{1}{0 - lim_{x \to - \infty} 1}$

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{0 - 1}$

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Разделим $1$ на $- 1$ .

$- 1$

Step 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 0, - 1$

Step 5

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Step 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0, - 1$

Нет наклонных асимптот

Step 7