Математический анализ Примеры

$x = 1$ , $x = 3$ , $y = x^{3} - 8$ , $y = 0$

Step 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{3} - 8 = 0$

Решим $x^{3} - 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} = 8$

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 8 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Возведем $2$ в степень $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 0$

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Приравняем $x^{2} + 2 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x^{2} + 2 x + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Решим $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ верно.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = 0$

Перечислим все решения.

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Step 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Step 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{3} 0 - (x^{3} - 8) d x$

Вычтем $x^{3} - 8$ из $0$ .

$\int_{1}^{3} - (x^{3} - 8) d x$

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 8 d x$

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 8 x]_{1}^{3}$

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $3$ и в $1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 8 x]_{1}^{3}$

Найдем значение $8 x$ в $3$ и в $1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $3$ в степень $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Единица в любой степени равна единице.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{81 - 1}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Вычтем $1$ из $81$ .

$- \frac{80}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Сократим общий множитель $80$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $80$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Перепишем это выражение.

$- \frac{20}{1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Разделим $20$ на $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Умножим $- 1$ на $20$ .

$- 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Умножим $8$ на $3$ .

$- 20 + 24 - 8 \cdot 1$

Умножим $- 8$ на $1$ .

$- 20 + 24 - 8$

Вычтем $8$ из $24$ .

$- 20 + 16$

Добавим $- 20$ и $16$ .

$- 4$

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 - (0) d x$

Вычтем $0$ из $x^{3} - 8$ .

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x$

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 8 d x$

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 8 d x$

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + - 8 x]_{1}^{3}$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}$ и $- 8 x]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} - 8 x]_{1}^{3}$

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4} - 8 x$ в $3$ и в $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - 8 \cdot 3) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 81 - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Объединим $\frac{1}{4}$ и $81$ .

$\frac{81}{4} - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Умножим $- 8$ на $3$ .

$\frac{81}{4} - 24 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Чтобы записать $- 24$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} - 24 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Объединим $- 24$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} + \frac{- 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{81 - 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 24$ на $4$ .

$\frac{81 - 96}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Вычтем $96$ из $81$ .

$\frac{- 15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - 8 \cdot 1)$

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot 1)$

Умножим $- 8$ на $1$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8)$

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4})$

Объединим $- 8$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4})$

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 8 \cdot 4}{4}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 8$ на $4$ .

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 32}{4}$

Вычтем $32$ из $1$ .

$- \frac{15}{4} - \frac{- 31}{4}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{15}{4} - - \frac{31}{4}$

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{15}{4} + 1 (\frac{31}{4})$

Умножим $\frac{31}{4}$ на $1$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{31}{4}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 15 + 31}{4}$

Добавим $- 15$ и $31$ .

$\frac{16}{4}$

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{1}$

Разделим $4$ на $1$ .

$4$

Step 4