Математический анализ Примеры

$y = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$

Step 1

Запишем $y = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ в виде функции.

$f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$

Step 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x^{2}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Умножим $2$ на $- 7$ .

$3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Умножим $- 5$ на $1$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 + \frac{d}{d x} [5]$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 + 0$

Добавим $3 x^{2} - 14 x - 5$ и $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5$

Step 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 14 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 14 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 14$ является константой относительно $x$ , производная $- 14 x$ по $x$ равна $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 5)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Умножим $- 14$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 + 0$

Добавим $6 x - 14$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 14$

Step 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

Step 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x^{2}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Умножим $2$ на $- 7$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

Умножим $- 5$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 + \frac{d}{d x} (5)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 + 0$

Добавим $3 x^{2} - 14 x - 5$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 14 x - 5$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5$

Step 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ , а сумма — $b = - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $- 14$ из $- 14 x$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

Запишем $- 14$ как $1$ плюс $- 15$

$3 x^{2} + (1 - 15) x - 5 = 0$

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 1 x - 15 x - 5 = 0$

Умножим $x$ на $1$ .

$3 x^{2} + x - 15 x - 5 = 0$

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} + x) - 15 x - 5 = 0$

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x + 1) - 5 (3 x + 1) = 0$

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 1$ .

$(3 x + 1) (x - 5) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Решим $3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 1$

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{3}$

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 1) (x - 5) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{3}, 5$

Step 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{1}{3}, 5$

Step 9

Найдем вторую производную в $x = - \frac{1}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (- \frac{1}{3}) - 14$

Step 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$6 (\frac{- 1}{3}) - 14$

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{- 1}{3} - 14$

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{- 1}{3} - 14$

Перепишем это выражение.

$2 \cdot - 1 - 14$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 - 14$

Вычтем $14$ из $- 2$ .

$- 16$

Step 11

$x = - \frac{1}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{1}{3}$ — локальный максимум

Step 12

Найдем значение y, если $x = - \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- \frac{1}{3})}^{3} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{3^{3}}) - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1^{3}}{3^{3}} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{3^{3}} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}})) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 (1 (\frac{1^{2}}{3^{2}})) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Умножим $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 \frac{1^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 \frac{1}{3^{2}} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 (\frac{1}{9}) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{9}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} + \frac{- 7}{9} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7}{9} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Умножим $- 5 (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7}{9} + 5 (\frac{1}{3}) + 5$

Объединим $5$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7}{9} + \frac{5}{3} + 5$

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{7}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - (\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{5}{3} + 5$

Умножим $\frac{7}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5}{3} + 5$

Умножим $\frac{5}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{9} + 5$

Умножим $\frac{5}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 5$

Запишем $5$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1}$

Умножим $\frac{5}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Умножим $\frac{5}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{27} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{27} + \frac{5 \cdot 9}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 7 \cdot 3 + 5 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 7$ на $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 21 + 5 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Умножим $5$ на $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 21 + 45 + 5 \cdot 27}{27}$

Умножим $5$ на $27$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 21 + 45 + 135}{27}$

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $21$ из $- 1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 22 + 45 + 135}{27}$

Добавим $- 22$ и $45$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{23 + 135}{27}$

Добавим $23$ и $135$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{158}{27}$

Окончательный ответ: $\frac{158}{27}$ .

$y = \frac{158}{27}$

Step 13

Найдем вторую производную в $x = 5$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (5) - 14$

Step 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $6$ на $5$ .

$30 - 14$

Вычтем $14$ из $30$ .

$16$

Step 15

$x = 5$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 5$ — локальный минимум

Step 16

Найдем значение y, если $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = {(5)}^{3} - 7 {(5)}^{2} - 5 \cdot 5 + 5$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f (5) = 125 - 7 {(5)}^{2} - 5 \cdot 5 + 5$

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5) = 125 - 7 \cdot 25 - 5 \cdot 5 + 5$

Умножим $- 7$ на $25$ .

$f (5) = 125 - 175 - 5 \cdot 5 + 5$

Умножим $- 5$ на $5$ .

$f (5) = 125 - 175 - 25 + 5$

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $175$ из $125$ .

$f (5) = - 50 - 25 + 5$

Вычтем $25$ из $- 50$ .

$f (5) = - 75 + 5$

Добавим $- 75$ и $5$ .

$f (5) = - 70$

Окончательный ответ: $- 70$ .

$y = - 70$

Step 17

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ .

$(- \frac{1}{3}, \frac{158}{27})$ — локальный максимум

$(5, - 70)$ — локальный минимум

Step 18