Математический анализ Примеры

$\frac{x - 4}{x^{2}}$

Step 1

Запишем $\frac{x - 4}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x - 4}{x^{2}}$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 4$ и $g (x) = x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 4) (2 x)}{x^{4}}$

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 (x - 4) x}{x^{4}}$

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 (x - 4) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 2 (x - 4) x}{x^{4}}$

Вынесем множитель $x$ из $- 2 (x - 4) x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 4))}{x^{4}}$

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 2 (x - 4))$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 4))}{x^{4}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 4))}{x \cdot x^{3}}$

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 4))}{x \cdot x^{3}}$

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{x - 2 (x - 4)}{x^{3}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{x - 2 x - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x + 8}{x^{3}}$

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 8}{x^{3}}$

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f' (x) = \frac{- (x) + 8}{x^{3}}$

Перепишем $8$ в виде $- 1 (- 8)$ .

$f' (x) = \frac{- (x) - 1 \cdot - 8}{x^{3}}$

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 8)$ .

$f' (x) = \frac{- (x - 8)}{x^{3}}$

Перепишем $- (x - 8)$ в виде $- 1 (x - 8)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x - 8)}{x^{3}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x - 8}{x^{3}}$

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{x - 8}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x - 8}{x^{3}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (1 + 0) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \cdot 1 - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} - (x - 8) (3 x^{2})}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} - 3 (x - 8) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} - 3 (x - 8) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} x - 3 (x - 8) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 (x - 8) x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} x + x^{2} (- 3 (x - 8))}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} (- 3 (x - 8))$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (x - 3 (x - 8))}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (x - 3 (x - 8))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (x - 3 (x - 8))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot 0$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{x - 8}{x^{3}}$ на $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}} + 0$

Добавим $- \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{x - 3 x - 3 \cdot - 8}{x^{4}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 3$ на $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 3 x + 24}{x^{4}}$

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x + 24}{x^{4}}$

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x) + 24}{x^{4}}$

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x) + 2 (12)}{x^{4}}$

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (12)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x + 12)}{x^{4}}$

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x) + 12)}{x^{4}}$

Перепишем $12$ в виде $- 1 (- 12)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x) - 1 \cdot - 12)}{x^{4}}$

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 12)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x - 12))}{x^{4}}$

Перепишем $- (x - 12)$ в виде $- 1 (x - 12)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (x - 12))}{x^{4}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (x - 12)}{x^{4}})$

Умножим $\frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$ .

$\frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 (x - 12)}{x^{4}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2 (x - 12)}{x^{4}} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$2 (x - 12) = 0$

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 (x - 12) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 (x - 12) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (x - 12)}{2} = \frac{0}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x - 12)}{2} = \frac{0}{2}$

Разделим $x - 12$ на $1$ .

$x - 12 = \frac{0}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0$ на $2$ .

$x - 12 = 0$

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$x = 12$

Step 3

Найдем область определения $f (x) = \frac{x - 4}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Зададим знаменатель в $\frac{x - 4}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Step 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 12) \cup (12, \infty)$

Step 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, 0)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 ((- 2) - 12)}{{(- 2)}^{4}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ и ${(- 2)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2 ((- 2) - 12)}{{(- 2)}^{4}}$

Вынесем множитель $- 2$ из $- 1 (- 2) (- 2 - 12)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 (- 1 (- 2 - 12))}{{(- 2)}^{4}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $- 2$ из ${(- 2)}^{4}$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 (- 1 (- 2 - 12))}{- 2 {(- 2)}^{3}}$

Сократим общий множитель.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 (- 1 (- 2 - 12))}{- 2 {(- 2)}^{3}}$

Перепишем это выражение.

$f'' (- 2) = \frac{- 1 (- 2 - 12)}{{(- 2)}^{3}}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $12$ из $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 14}{{(- 2)}^{3}}$

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 14}{- 8}$

Умножим $- 1$ на $- 14$ .

$f'' (- 2) = \frac{14}{- 8}$

Сократим общий множитель $14$ и $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (7)}{- 8}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 4}$

Сократим общий множитель.

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 4}$

Перепишем это выражение.

$f'' (- 2) = \frac{7}{- 4}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 2) = - \frac{7}{4}$

Окончательный ответ: $- \frac{7}{4}$ .

$- \frac{7}{4}$

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, 0)$ , поскольку $f'' (- 2)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Step 6

Подставим любое число из интервала $(0, 12)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = \frac{2 ((2) - 12)}{{(2)}^{4}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из ${(2)}^{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2 ((2) - 12)}{2 \cdot 2^{3}}$

Сократим общий множитель.

$f'' (2) = \frac{2 ((2) - 12)}{2 \cdot 2^{3}}$

Перепишем это выражение.

$f'' (2) = \frac{(2) - 12}{2^{3}}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $12$ из $2$ .

$f'' (2) = \frac{- 10}{2^{3}}$

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (2) = \frac{- 10}{8}$

Сократим общий множитель $- 10$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$f'' (2) = \frac{2 (- 5)}{8}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

Сократим общий множитель.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

Перепишем это выражение.

$f'' (2) = \frac{- 5}{4}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (2) = - \frac{5}{4}$

Окончательный ответ: $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

График вогнут вниз на интервале $(0, 12)$ , поскольку $f'' (2)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(0, 12)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Step 7

Подставим любое число из интервала $(12, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $14$ .

$f'' (14) = \frac{2 ((14) - 12)}{{(14)}^{4}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $12$ из $14$ .

$f'' (14) = \frac{2 \cdot 2}{14^{4}}$

Возведем $14$ в степень $4$ .

$f'' (14) = \frac{2 \cdot 2}{38416}$

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (14) = \frac{4}{38416}$

Сократим общий множитель $4$ и $38416$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$f'' (14) = \frac{4 (1)}{38416}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $38416$ .

$f'' (14) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 9604}$

Сократим общий множитель.

$f'' (14) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 9604}$

Перепишем это выражение.

$f'' (14) = \frac{1}{9604}$

Окончательный ответ: $\frac{1}{9604}$ .

$\frac{1}{9604}$

График вогнут вверх на интервале $(12, \infty)$ , поскольку $f'' (14)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(12, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Step 8

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(0, 12)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(12, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Step 9