Математический анализ Примеры

$x^{3}$

Этап 1

Запишем $x^{3}$ в виде функции.

$f (x) = x^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x)$

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x$

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x$ .

$6 x$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть вторая производная равна $0$ .

$6 x = 0$

Разделим каждый член $6 x = 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $6 x = 0$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0$ на $6$ .

$x = 0$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $0$ в $f (x) = x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{3}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0$

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Подставляя $0$ в $f (x) = x^{3}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 6 (- 0.1)$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $6$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.6$

Окончательный ответ: $- 0.6$ .

$- 0.6$

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.6$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 6 (0.1)$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $6$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.6$

Окончательный ответ: $0.6$ .

$0.6$

При $0.1$ вторая производная имеет вид $0.6$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Этап 9