Математический анализ Примеры

$y = \frac{3}{x}$ ; $[1, 5]$

Step 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\frac{3}{x} = 0$

Решим $\frac{3}{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем числитель к нулю.

$3 = 0$

Поскольку $3 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Step 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{5} \frac{3}{x} d x - \int_{1}^{5} 0 d x$

Step 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{5} \frac{3}{x} - (0) d x$

Вычтем $0$ из $\frac{3}{x}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{3}{x} d x$

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{1}^{5} \frac{1}{x} d x$

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$3 (\ln (| x |)]_{1}^{5})$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $5$ и в $1$ .

$3 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $5$ равно $5$ .

$3 \ln (\frac{5}{| 1 |})$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$3 \ln (\frac{5}{1})$

Разделим $5$ на $1$ .

$3 \ln (5)$

Step 4

Сложим площади $3 \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $3 \ln (5)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln (5^{3})$

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\ln (125)$

Step 5