Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4}$

Step 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2})$

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Step 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть вторая производная равна $0$ .

$12 x^{2} = 0$

Разделим каждый член $12 x^{2} = 0$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $12 x^{2} = 0$ на $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{12}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0$ на $12$ .

$x^{2} = 0$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Step 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $0$ в $f (x) = x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0$

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Подставляя $0$ в $f (x) = x^{4}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Step 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 0.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01$

Умножим $12$ на $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12$

Окончательный ответ: $0.12$ .

$0.12$

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $0.12$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 0)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Step 6

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01$

Умножим $12$ на $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12$

Окончательный ответ: $0.12$ .

$0.12$

При $0.1$ вторая производная имеет вид $0.12$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Step 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. На графике нет точек, удовлетворяющих этим требованиям.

Нет точек перегиба