Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - 12 x - 5$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{3} - 12 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 5)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 + 0$

Добавим $3 x^{2} - 12$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 12$ .

$3 x^{2} - 12$

Step 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 12 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 12 = 0$

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} = 12$

Разделим каждый член $3 x^{2} = 12$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $3 x^{2} = 12$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $12$ на $3$ .

$x^{2} = 4$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{4}$

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Step 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 4

Вычислим $x^{3} - 12 x - 5$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $2$ вместо $x$ .

${(2)}^{3} - 12 \cdot 2 - 5$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 - 12 \cdot 2 - 5$

Умножим $- 12$ на $2$ .

$8 - 24 - 5$

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $24$ из $8$ .

$- 16 - 5$

Вычтем $5$ из $- 16$ .

$- 21$

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

${(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2 - 5$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 - 12 \cdot - 2 - 5$

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$- 8 + 24 - 5$

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $- 8$ и $24$ .

$16 - 5$

Вычтем $5$ из $16$ .

$11$

Перечислим все точки.

$(2, - 21), (- 2, 11)$

Step 5