Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Умножим $x^{2} - 4$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Step 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$- x^{2} - 4 = 0$

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$- x^{2} = 4$

Разделим каждый член $- x^{2} = 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- x^{2} = 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $4$ на $- 1$ .

$x^{2} = - 4$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Step 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Step 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Зададим знаменатель в $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Применим правило умножения к $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Решим ${(x + 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 2, 2$

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Step 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Step 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- {(- 3)}^{2} - 4}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1 \cdot 9 - 4}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f' (- 3) = \frac{- 9 - 4}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Вычтем $4$ из $- 9$ .

$f' (- 3) = \frac{- 13}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 13}{{(9 - 4)}^{2}}$

Вычтем $4$ из $9$ .

$f' (- 3) = \frac{- 13}{5^{2}}$

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 13}{25}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 3) = - \frac{13}{25}$

Окончательный ответ: $- \frac{13}{25}$ .

$- \frac{13}{25}$

При $x = - 3$ производная имеет вид $- \frac{13}{25}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 2)$ .

Убывание на $(- \infty, - 2)$ , так как $f' (x) < 0$

Step 7

Подставим значение из интервала $(- 2, 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{- {(0)}^{2} - 4}{{({(0)}^{2} - 4)}^{2}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = \frac{- 0 - 4}{{(0^{2} - 4)}^{2}}$

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{0 - 4}{{(0^{2} - 4)}^{2}}$

Вычтем $4$ из $0$ .

$f' (0) = \frac{- 4}{{(0^{2} - 4)}^{2}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = \frac{- 4}{{(0 - 4)}^{2}}$

Вычтем $4$ из $0$ .

$f' (0) = \frac{- 4}{{(- 4)}^{2}}$

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f' (0) = \frac{- 4}{16}$

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $- 4$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f' (0) = \frac{4 (- 1)}{16}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Сократим общий множитель.

$f' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Перепишем это выражение.

$f' (0) = \frac{- 1}{4}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (0) = - \frac{1}{4}$

Окончательный ответ: $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

При $x = 0$ производная имеет вид $- \frac{1}{4}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 2, 2)$ .

Убывание на $(- 2, 2)$ , так как $f' (x) < 0$

Step 8

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = \frac{- {(3)}^{2} - 4}{{({(3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (3) = \frac{- 1 \cdot 9 - 4}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f' (3) = \frac{- 9 - 4}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

Вычтем $4$ из $- 9$ .

$f' (3) = \frac{- 13}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (3) = \frac{- 13}{{(9 - 4)}^{2}}$

Вычтем $4$ из $9$ .

$f' (3) = \frac{- 13}{5^{2}}$

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (3) = \frac{- 13}{25}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (3) = - \frac{13}{25}$

Окончательный ответ: $- \frac{13}{25}$ .

$- \frac{13}{25}$

При $x = 3$ производная имеет вид $- \frac{13}{25}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(2, \infty)$ .

Убывание на $(2, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Step 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, - 2), (- 2, 2), (2, \infty)$

Step 10