Математический анализ Примеры

$y = x^{3}$ ; $[1, 3]$

Step 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{3} = 0$

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем кубический корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

Step 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{3} x^{3} d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Step 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{3} x^{3} - (0) d x$

Вычтем $0$ из $x^{3}$ .

$\int_{1}^{3} x^{3} d x$

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}$

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4}$ в $3$ и в $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 81 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Объединим $\frac{1}{4}$ и $81$ .

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{81 - 1}{4}$

Вычтем $1$ из $81$ .

$\frac{80}{4}$

Сократим общий множитель $80$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $80$ .

$\frac{4 \cdot 20}{4}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 20}{4 (1)}$

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$\frac{20}{1}$

Разделим $20$ на $1$ .

$20$

Step 4