Математический анализ Примеры

$y = x^{2}$ ; $[2, 4]$

Step 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} = 0$

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

Step 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{2}^{4} x^{2} d x - \int_{2}^{4} 0 d x$

Step 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{2}^{4} x^{2} - (0) d x$

Вычтем $0$ из $x^{2}$ .

$\int_{2}^{4} x^{2} d x$

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}$

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $4$ и в $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3}$

Объединим $\frac{1}{3}$ и $64$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3}$

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8$

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{64}{3} - 8 (\frac{1}{3})$

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{- 8}{3}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{64}{3} - \frac{8}{3}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{64 - 8}{3}$

Вычтем $8$ из $64$ .

$\frac{56}{3}$

Step 4