Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 4 x)}{x}$

Step 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\ln (1 + 4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\ln (1 + 4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}$

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Step 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 4 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Step 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + 4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

По правилу суммы производная $1 + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Объединим $4$ и $\frac{1}{1 + 4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Умножим $\frac{4}{1 + 4 x}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{4 x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{4 x + 1}}{1}$

Step 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \frac{4}{4 x + 1} \cdot 1$

Step 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{4}{4 x + 1}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4}{4 x + 1}$

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 x + 1}$

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4 x + 1}$

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$4 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x + 1}$

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}$

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$4 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x + 1}$

Step 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{1}{4 \cdot 0 + 1}$

Step 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $4$ на $0$ .

$4 \frac{1}{0 + 1}$

Добавим $0$ и $1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{1}{1})$

Перепишем это выражение.

$4 \cdot 1$

Умножим $4$ на $1$ .

$4$