Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)}{\ln (x)}$

Step 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x)}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Step 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)}{\ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Step 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Step 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} 1 x$

Step 5

Умножим $x$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} x$

Step 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$1$