Математический анализ Примеры

$f (x, y) = \ln (x - y)$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - y$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x - y)$

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x - y)$

Заменим все вхождения $u$ на $x - y$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot \frac{d}{d x} (x - y)$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- y))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- y))$

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot (1 + 0)$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot 1$

Умножим $\frac{1}{x - y}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y}$

Step 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\frac{1}{x - y}$ в виде ${(x - y)}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - y)}^{- 1})$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - y$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - y)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - y)$

Заменим все вхождения $u$ на $x - y$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - y)$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- y))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- y))$

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} (1 + 0)$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} \cdot 1$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{{(x - y)}^{2}}$