Математический анализ Примеры

$\sum_{3}^{8} 15 - 2 n$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $n$ было равно $1$ .

$\sum_{3}^{8} 15 - 2 n = \sum_{n = 1}^{8} 15 - 2 n - \sum_{n = 1}^{2} 15 - 2 n$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{8} 15 - 2 n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{n = 1}^{8} 15 - 2 n = \sum_{n = 1}^{8} 15 - 2 \sum_{n = 1}^{8} n$

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{8} 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Подставим значения в формулу.

$(15) (8)$

Умножим $15$ на $8$ .

$120$

Найдем значение $2 \sum_{n = 1}^{8} n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 2) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $8$ и $1$ .

$- 2 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Умножим $8$ на $9$ .

$- 2 (\frac{72}{2})$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{72}{2}$

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{72}{2}$

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 72$

Умножим $- 1$ на $72$ .

$- 72$

Сложим результаты суммирования.

$120 - 72$

Вычтем $72$ из $120$ .

$48$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{n = 1}^{2} 15 - 2 n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Развернем ряд для каждого значения $n$ .

$15 - 2 \cdot 1 + 15 - 2 \cdot 2$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 2$ на $1$ .

$15 - 2 + 15 - 2 \cdot 2$

Вычтем $2$ из $15$ .

$13 + 15 - 2 \cdot 2$

Умножим $- 2$ на $2$ .

$13 + 15 - 4$

Вычтем $4$ из $15$ .

$13 + 11$

Добавим $13$ и $11$ .

$24$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$48 - 24$

Этап 5

Вычтем $24$ из $48$ .

$24$