Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{7} 4^{n - 1}$

Step 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Step 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $a_{n}$ и $a_{n + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{4^{n + 1 - 1}}{4^{n - 1}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $4^{n + 1 - 1}$ и $4^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4^{n - 1}$ из $4^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{4^{n - 1} \cdot 4^{n + 0 - (n - 1)}}{4^{n - 1}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим на $1$ .

$r = \frac{4^{n - 1} \cdot 4^{n + 0 - (n - 1)}}{4^{n - 1} \cdot 1}$

Сократим общий множитель.

$r = \frac{4^{n - 1} \cdot 4^{n + 0 - (n - 1)}}{4^{n - 1} \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$r = \frac{4^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Разделим $4^{n + 0 - (n - 1)}$ на $1$ .

$r = 4^{n + 0 - (n - 1)}$

Добавим $n$ и $0$ .

$r = 4^{n - (n - 1)}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$r = 4^{n - n - - 1}$

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = 4^{n - n + 1}$

Вычтем $n$ из $n$ .

$r = 4^{0 + 1}$

Добавим $0$ и $1$ .

$r = 4^{1}$

Найдем экспоненту.

$r = 4$

Step 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $1$ вместо $n$ в $4^{n - 1}$ .

$a = 4^{1 - 1}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = 4^{0}$

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 1$

Step 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$1 \frac{1 - 4^{7}}{1 - 1 \cdot 4}$

Step 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{1 - 4^{7}}{1 - 1 \cdot 4}$ на $1$ .

$\frac{1 - 4^{7}}{1 - 1 \cdot 4}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $4$ в степень $7$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 16384}{1 - 1 \cdot 4}$

Умножим $- 1$ на $16384$ .

$\frac{1 - 16384}{1 - 1 \cdot 4}$

Вычтем $16384$ из $1$ .

$\frac{- 16383}{1 - 1 \cdot 4}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 16383}{1 - 4}$

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{- 16383}{- 3}$

Разделим $- 16383$ на $- 3$ .

$5461$