Математический анализ Примеры

$5 x \ln (x)$

Step 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int x \ln (x) d x$

Step 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x$ .

$5 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Step 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$5 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$5 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$5 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Умножим $\frac{x^{2}}{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$5 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$5 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$5 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Step 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Step 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Step 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$5 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Перепишем $5 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ в виде $5 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ .

$5 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Изменим порядок членов.

$5 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$