Математический анализ Примеры

$\sin (\frac{x}{2})$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Умножим $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Step 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x = π$

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Перепишем это выражение.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Перепишем это выражение.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Умножим $2$ на $2$ .

$x = 4 π - π$

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = 3 π$

Найдем период $\cos (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Период функции $\cos (\frac{x}{2})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , для любого целого $n$

Объединим ответы.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Step 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 4

Вычислим $\sin (\frac{x}{2})$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $π$ вместо $x$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$1$

Найдем значение в $x = 3 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $3 π$ вместо $x$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Перечислим все точки.

$(π + 4 π n, 1), (3 π + 4 π n, - 1)$ , для любого целого $n$

Step 5