Математический анализ Примеры

$1 - 2 \sin (x)$

Step 1

Запишем $1 - 2 \sin (x)$ в виде функции.

$f (x) = 1 - 2 \sin (x)$

Step 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $1 - 2 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f' (x) = 0 - 2 \cos (x)$

Вычтем $2 \cos (x)$ из $0$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x)$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos (x)$

Step 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 \cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 \cos (x) = 0$

Разделим каждый член $- 2 \cos (x) = 0$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- 2 \cos (x) = 0$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{- 2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0$ на $- 2$ .

$\cos (x) = 0$

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Step 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

Step 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - 2 \cos (x)$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 1 - 2 \sin (x)$ в интервале $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Step 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2} + π n - 1$ .

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = - 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Окончательный ответ: $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Упростим.

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

При $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ производная имеет вид $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ , так как $f' (x) < 0$

Step 7

Подставим значение из интервала $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2} + π n + 1$ .

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = - 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Окончательный ответ: $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Упростим.

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

При $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ производная имеет вид $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Step 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n), (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Step 9