Математический анализ Примеры

$\ln (x^{4})$

Step 1

Запишем $\ln (x^{4})$ в виде функции.

$f (x) = \ln (x^{4})$

Step 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \ln (x^{4}) d x$

Step 4

Перепишем в виде $\int 4 \ln (x) d x$ .

$\int 4 \ln (x) d x$

Step 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \ln (x) d x$

Step 6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$4 (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Step 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$4 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$4 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Перепишем это выражение.

$4 (\ln (x) x - \int d x)$

Step 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\ln (x) x - (x + C))$

Step 9

Упростим.

$4 (\ln (x) x - x) + C$

Step 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \ln (x^{4})$ .

$F (x) =$ $4 (\ln (x) x - x) + C$