Математический анализ Примеры

$\cos (\frac{2 x}{3})$

Step 1

Запишем $\cos (\frac{2 x}{3})$ в виде функции.

$f (x) = \cos (\frac{2 x}{3})$

Step 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \cos (\frac{2 x}{3}) d x$

Step 4

Пусть $u = \frac{2 x}{3}$ . Тогда $d u = \frac{2}{3} d x$ , следовательно $\frac{3}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть $u = \frac{2 x}{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Дифференцируем $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{3}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{2}{3}$

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \cos (u) \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

Step 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{2}{3}$ .

$\int \cos (u) (1 (\frac{3}{2})) d u$

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$\int \cos (u) \frac{3}{2} d u$

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{\cos (u) \cdot 3}{2} d u$

Перенесем $3$ влево от $\cos (u)$ .

$\int \frac{3 \cos (u)}{2} d u$

Step 6

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} \int \cos (u) d u$

Step 7

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{3}{2} (\sin (u) + C)$

Step 8

Упростим.

$\frac{3}{2} \sin (u) + C$

Step 9

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{3}{2} \sin (\frac{2 x}{3}) + C$

Step 10

Изменим порядок членов.

$\frac{3}{2} \sin (\frac{2}{3} x) + C$

Step 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \cos (\frac{2 x}{3})$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} \sin (\frac{2}{3} x) + C$