Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$

Step 1

Запишем $\frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$

Step 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

Step 4

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Step 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Step 6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Step 7

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Step 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$ .

$F (x) =$ $2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} + C$