Математический анализ Примеры

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (8 t)}{\sin (2 t)}$

Step 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{t \to 0} \tan (8 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{\tan (lim_{t \to 0} 8 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{\tan (8 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{\tan (8 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $8$ на $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{\sin (lim_{t \to 0} 2 t)}$

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{t \to 0} t)}$

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Step 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (8 t)}{\sin (2 t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (8 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Step 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (8 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \tan (t)$ и $g (t) = 8 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Заменим все вхождения $u$ на $8 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Поскольку $8$ является константой относительно $t$ , производная $8 t$ по $t$ равна $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) (8 \frac{d}{d t} [t])}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) (8 \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Умножим $8$ на $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) \cdot 8}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Перенесем $8$ влево от $\sec^{2} (8 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \cdot \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Умножим $8$ на $\sec^{2} (8 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 t]}$

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (u) \frac{d}{d t} [2 t]}$

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]}$

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) (2 \cdot 1)}$

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) \cdot 2}$

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{2 \cdot \cos (2 t)}$

Умножим $2$ на $\cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{2 \cos (2 t)}$

Step 4

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $8 \sec^{2} (8 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 \cos (2 t)}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2 \cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 (\cos (2 t))}$

Сократим общий множитель.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 \cos (2 t)}$

Перепишем это выражение.

$lim_{t \to 0} \frac{4 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t)}$

Step 5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t)}$

Step 6

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$4 \frac{lim_{t \to 0} \sec^{2} (8 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 7

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (8 t)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$4 \frac{{(lim_{t \to 0} \sec (8 t))}^{2}}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$4 \frac{\sec^{2} (lim_{t \to 0} 8 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 9

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{\cos (lim_{t \to 0} 2 t)}$

Step 11

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

Step 12

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 \cdot 0)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 \cdot 0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Step 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $8$ на $0$ .

$4 \frac{\sec^{2} (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$4 \frac{1^{2}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Единица в любой степени равна единице.

$4 \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $0$ .

$4 \frac{1}{\cos (0)}$

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{1}{1})$

Перепишем это выражение.

$4 \cdot 1$

Умножим $4$ на $1$ .

$4$