Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin^{3} (x)$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 u^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Step 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \sin^{2} (x) \cos (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x) \cos (x))$

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin^{2} (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $\sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 3 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 3 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = 3 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $- 1$ влево от $\sin^{3} (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Перепишем $- 1 \sin^{3} (x)$ в виде $- \sin^{3} (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x))))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} (\sin (x))))$

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))))$

Перенесем $2$ влево от $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cdot (\cos (x) \sin (x)) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x))$

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) \sin (x))$

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) \sin (x))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x))$

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 3 (- \sin^{3} (x)) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = - 3 \sin^{3} (x) + 3 (2 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = - 3 \sin^{3} (x) + 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$

Step 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$ .

$6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin^{3} (x)$