Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \sec (x)$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sec (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = 2 \sec (x) \tan (x)$

Step 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sec (x) \tan (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sec (x) \tan (x))$

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x))$

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 2 \sec^{3} (x) + 2 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 2 \tan^{2} (x) \sec (x) + 2 \sec^{3} (x)$

Step 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 \tan^{2} (x) \sec (x) + 2 \sec^{3} (x)$ .

$2 \tan^{2} (x) \sec (x) + 2 \sec^{3} (x)$