Математический анализ Примеры

$y = \sec (2 x)$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sec (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Производная $\sec (u)$ по $u$ равна $\sec (u) \tan (u)$ .

$f' (x) = \sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f' (x) = \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Перенесем $2$ влево от $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Step 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sec (2 x) \tan (2 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sec (2 x) \tan (2 x))$

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (2 x)$ и $g (x) = \tan (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\frac{d}{d u (1)} (\tan (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{2} (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 ({\sec (2 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) (2 \cdot 1) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Перенесем $2$ влево от $\sec^{3} (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 1} (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \cdot 1))$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) \cdot 2)$

Перенесем $2$ влево от $\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \cdot (\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)))$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x)) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{3} (2 x) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{3} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x)$

Step 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)]$ .

$f''' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u (1)} (\sec (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Производная $\sec (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\tan (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\tan (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $2 x$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\frac{d}{d u (3)} (\tan (u_{3})) \frac{d}{d x} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Производная $\tan (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\sec^{2} (u_{3})$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Умножим $2$ на $1$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Перенесем $2$ влево от $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Умножим $\tan^{2} (2 x)$ на $\tan (2 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $\tan (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (\tan (2 x) \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Умножим $\tan (2 x)$ на $\tan^{2} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$f''' (x) = 4 (\tan (2 x) \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f''' (x) = 4 ({\tan (2 x)}^{1 + 2} (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Добавим $1$ и $2$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{3} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Перенесем $2$ влево от $\tan^{3} (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (2 \cdot (\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Умножим $2$ на $1$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (2 \cdot \sec^{2} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Умножим $2$ на $2$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Добавим $1$ и $2$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sec^{3} (2 x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (2 x)]$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $\sec (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (\frac{d}{d u (4)} ({u_{4}}^{3}) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{4}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $\sec (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{5}$ как $2 x$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u (5)} (\sec (u_{5})) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Производная $\sec (u_{5})$ по $u_{5}$ равна $\sec (u_{5}) \tan (u_{5})$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (u_{5}) \tan (u_{5}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Заменим все вхождения $u_{5}$ на $2 x$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))$

Умножим $2$ на $1$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2))$

Перенесем $2$ влево от $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))))$

Умножим $2$ на $3$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)))$

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x))$

Добавим $1$ и $2$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Умножим $6$ на $4$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 4 (4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $4$ .

$f''' (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 4 (4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Умножим $4$ на $4$ .

$f''' (x) = 8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 16 (\tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Изменим порядок множителей в $16 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)$ .

$f''' (x) = 8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 16 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Добавим $16 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ и $24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ .

$f''' (x) = 8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Step 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)]$ .

$f^{4} (x) = 8 \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\frac{d}{d u (1)} (\sec (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Производная $\sec (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\tan (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{3}) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} (\tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\tan (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $2 x$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u (3)} (\tan (u_{3})) \frac{d}{d x} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Производная $\tan (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\sec^{2} (u_{3})$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Умножим $2$ на $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Перенесем $2$ влево от $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Умножим $\tan^{3} (2 x)$ на $\tan (2 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $\tan (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan (2 x) \tan^{3} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Умножим $\tan (2 x)$ на $\tan^{3} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan (2 x) \tan^{3} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{4} (x) = 8 ({\tan (2 x)}^{1 + 3} (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Добавим $1$ и $3$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{4} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Перенесем $2$ влево от $\tan^{4} (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \cdot (\tan^{4} (2 x) \sec (2 x)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Умножим $2$ на $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (2 \cdot \sec^{2} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Умножим $2$ на $3$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (6 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Добавим $1$ и $2$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $40$ является константой относительно $x$ , производная $40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ по $x$ равна $40 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (2 x) \tan (2 x)]$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x)))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $2 x$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\frac{d}{d u (4)} (\tan (u_{4})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x)))$

Производная $\tan (u_{4})$ по $u_{4}$ равна $\sec^{2} (u_{4})$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x)))$

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $2 x$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x)))$

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x)))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x)))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{5}$ как $\sec (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u (5)} ({u_{5}}^{3}) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{5}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 {u_{5}}^{2} \frac{d}{d x} (\sec (2 x))))$

Заменим все вхождения $u_{5}$ на $\sec (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{6}$ как $2 x$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u (6)} (\sec (u_{6})) \frac{d}{d x} (2 x))))$

Производная $\sec (u_{6})$ по $u_{6}$ равна $\sec (u_{6}) \tan (u_{6})$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (u_{6}) \tan (u_{6}) \frac{d}{d x} (2 x))))$

Заменим все вхождения $u_{6}$ на $2 x$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))))$

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

Умножим $2$ на $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (2 \cdot \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

Умножим $\sec^{3} (2 x)$ на $\sec^{2} (2 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $\sec^{2} (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 ({\sec (2 x)}^{2 + 3} \cdot 2 + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

Добавим $2$ и $3$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{5} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

Перенесем $2$ влево от $\sec^{5} (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \cdot \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

Умножим $2$ на $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2)))$

Перенесем $2$ влево от $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x)))))$

Умножим $2$ на $3$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (6 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x))))$

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (6 (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x)))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (6 {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x)))$

Добавим $1$ и $2$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)))$

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + 6 \sec^{3} (2 x) (\tan (2 x) \tan (2 x)))$

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + 6 \sec^{3} (2 x) (\tan (2 x) \tan (2 x)))$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + 6 \sec^{3} (2 x) {\tan (2 x)}^{1 + 1})$

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + 6 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x)) + 8 (6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + 6 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x)) + 8 (6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x)) + 40 (6 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $8$ .

$f^{4} (x) = 16 (\tan^{4} (2 x) \sec (2 x)) + 8 (6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x)) + 40 (6 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

Умножим $6$ на $8$ .

$f^{4} (x) = 16 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 48 (\tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x)) + 40 (6 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

Умножим $2$ на $40$ .

$f^{4} (x) = 16 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 48 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x) + 80 \sec^{5} (2 x) + 40 (6 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

Умножим $6$ на $40$ .

$f^{4} (x) = 16 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 48 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x) + 80 \sec^{5} (2 x) + 240 (\sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

Изменим порядок множителей в $48 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 16 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 48 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 80 \sec^{5} (2 x) + 240 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x)$

Добавим $48 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x)$ и $240 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 16 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 288 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 80 \sec^{5} (2 x)$