Математический анализ Примеры

$y = 2 e^{x} \cos (x)$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{x} \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Step 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 e^{x} \sin (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{x} \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x)) - 2 (\sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - 2 (e^{x} \cos (x)) - 2 (\sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 2 \sin (x) e^{x} - 2 (e^{x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Вычтем $2 e^{x} \sin (x)$ из $- 2 \sin (x) e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 2 e^{x} \sin (x) - 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Вычтем $2 e^{x} \sin (x)$ из $- 2 e^{x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 4 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Добавим $- 2 e^{x} \cos (x)$ и $2 \cos (x) e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 e^{x} \sin (x) - 2 e^{x} \cos (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Добавим $- 2 e^{x} \cos (x)$ и $2 e^{x} \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 e^{x} \sin (x) + 0$

Добавим $- 4 e^{x} \sin (x)$ и $0$ .

$f'' (x) = - 4 e^{x} \sin (x)$