Математический анализ Примеры

$\sin^{2} (2 t)$

Step 1

Пусть $u_{1} = 2 t$ . Тогда $d u_{1} = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть $u_{1} = 2 t$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 2

Объединим $\sin^{2} (u_{1})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 4

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (u_{1})$ в виде $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Step 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{4} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 10

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Дифференцируем $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $2 u_{1}$ по $u_{1}$ равна $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Step 11

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Step 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Step 13

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Step 14

Упростим.

$\frac{1}{4} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Step 15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 t$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 t$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (2 (2 t))) + C$

Step 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (4 t)) + C$

Объединим $\sin (4 t)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Вынесем множитель $2$ из $2 t$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (t)) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} t + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t$ .

$\frac{t}{2} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Умножим $\frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{\sin (4 t)}{2}$ .

$\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{4 \cdot 2} + C$

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C$

Step 17

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) + C$