Математический анализ Примеры

$\ln^{3} (x)$

Step 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln^{3} (x)$ и $d v = 1$ .

$\ln^{3} (x) x - \int x \frac{3 \ln^{2} (x)}{x} d x$

Step 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $x$ и $\frac{3 \ln^{2} (x)}{x}$ .

$\ln^{3} (x) x - \int \frac{x (3 \ln^{2} (x))}{x} d x$

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\ln^{3} (x) x - \int \frac{x (3 \ln^{2} (x))}{x} d x$

Разделим $3 \ln^{2} (x)$ на $1$ .

$\ln^{3} (x) x - \int 3 \ln^{2} (x) d x$

Step 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\ln^{3} (x) x - (3 \int \ln^{2} (x) d x)$

Step 4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\ln^{3} (x) x - 3 \int \ln^{2} (x) d x$

Step 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln^{2} (x)$ и $d v = 1$ .

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - \int x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x)$

Step 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $x$ и $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - \int \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x)$

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - \int \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x)$

Разделим $\ln (x^{2})$ на $1$ .

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - \int \ln (x^{2}) d x)$

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - \int 2 \ln (x) d x)$

Step 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - (2 \int \ln (x) d x))$

Step 8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 \int \ln (x) d x)$

Step 9

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x))$

Step 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x))$

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x))$

Перепишем это выражение.

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int d x))$

Step 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - (x + C)))$

Step 12

Перепишем $\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - (x + C)))$ в виде $\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 \ln (x) x + 2 x) + C$ .

$\ln^{3} (x) x - 3 (\ln^{2} (x) x - 2 \ln (x) x + 2 x) + C$