Математический анализ Примеры

$\sum_{0}^{8} 8 {(- \frac{2}{3})}^{i}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{8 {(- \frac{2}{3})}^{i + 1}}{8 {(- \frac{2}{3})}^{i}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$r = \frac{8 {(- \frac{2}{3})}^{i + 1}}{8 {(- \frac{2}{3})}^{i}}$

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i + 1}}{{(- \frac{2}{3})}^{i}}$

Сократим общий множитель ${(- \frac{2}{3})}^{i + 1}$ и ${(- \frac{2}{3})}^{i}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель ${(- \frac{2}{3})}^{i}$ из ${(- \frac{2}{3})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i} (- \frac{2}{3})}{{(- \frac{2}{3})}^{i}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i} (- \frac{2}{3})}{{(- \frac{2}{3})}^{i} \cdot 1}$

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i} (- \frac{2}{3})}{{(- \frac{2}{3})}^{i} \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$r = \frac{- \frac{2}{3}}{1}$

Разделим $- \frac{2}{3}$ на $1$ .

$r = - \frac{2}{3}$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $0$ вместо $i$ в $8 {(- \frac{2}{3})}^{i}$ .

$a = 8 {(- \frac{2}{3})}^{0}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$a = 8 ({(- 1)}^{0} {(\frac{2}{3})}^{0})$

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$a = 8 ({(- 1)}^{0} \frac{2^{0}}{3^{0}})$

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 8 (1 \frac{2^{0}}{3^{0}})$

Умножим $\frac{2^{0}}{3^{0}}$ на $1$ .

$a = 8 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 8 \frac{1}{3^{0}}$

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 8 (\frac{1}{1})$

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$a = 8 (\frac{1}{1})$

Перепишем это выражение.

$a = 8 \cdot 1$

Умножим $8$ на $1$ .

$a = 8$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$8 \frac{1 - {(- \frac{2}{3})}^{9}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$8 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{2}{3})}^{9})}{1 - - \frac{2}{3}}$

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$8 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{2^{9}}{3^{9}})}{1 - - \frac{2}{3}}$

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{9}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем ${(- 1)}^{9}$ .

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Умножим ${(- 1)}^{9}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Добавим $9$ и $1$ .

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Возведем $- 1$ в степень $10$ .

$8 \frac{1 + 1 \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Умножим $\frac{2^{9}}{3^{9}}$ на $1$ .

$8 \frac{1 + \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Возведем $2$ в степень $9$ .

$8 \frac{1 + \frac{512}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Возведем $3$ в степень $9$ .

$8 \frac{1 + \frac{512}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$8 \frac{\frac{19683}{19683} + \frac{512}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 \frac{\frac{19683 + 512}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Добавим $19683$ и $512$ .

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- - \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{1 + 1 (\frac{2}{3})}$

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{1 + \frac{2}{3}}$

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{\frac{3 + 2}{3}}$

Добавим $3$ и $2$ .

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{\frac{5}{3}}$

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$8 (\frac{20195}{19683} \cdot \frac{3}{5})$

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $5$ из $20195$ .

$8 (\frac{5 (4039)}{19683} \cdot \frac{3}{5})$

Сократим общий множитель.

$8 (\frac{5 \cdot 4039}{19683} \cdot \frac{3}{5})$

Перепишем это выражение.

$8 (\frac{4039}{19683} \cdot 3)$

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $19683$ .

$8 (\frac{4039}{3 (6561)} \cdot 3)$

Сократим общий множитель.

$8 (\frac{4039}{3 \cdot 6561} \cdot 3)$

Перепишем это выражение.

$8 (\frac{4039}{6561})$

Умножим $8 (\frac{4039}{6561})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $8$ и $\frac{4039}{6561}$ .

$\frac{8 \cdot 4039}{6561}$

Умножим $8$ на $4039$ .

$\frac{32312}{6561}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{32312}{6561}$

Десятичная форма:

$4.92485901 \dots$

Форма смешанных чисел:

$4 \frac{6068}{6561}$